INTEGRAL

INTEGRAL

Integral adalah sebuah konsep penjumlahan secara berkesinambungan dalam matematika, dan bersama dengan inversnya, diferensiasi, adalah satu dari dua operasi utama dalam kalkulus. Integral dikembangkan menyusul dikembangkannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang integral adalah ${\displaystyle \int \,}$

Bila diberikan suatu fungsi f dari variable real x dengan interval [a, b] dari sebuah garis lurus, maka integral tertentu

${\displaystyle \int _{a}^{b}\!f(x)\,dx\,}$

didefinisikan sebagai area yang dibatasi oleh kurva f, sumbu-x, sumbu-y dan garis vertikal x = a dan x = b, dengan area yang berada di atas sumbu-x bernilai positif dan area di bawah sumbu-x bernilai negatif.

Kata integral juga dapat digunakan untuk merujuk pada anti turunan, sebuah fungsi F yang turunannya adalah fungsi f. Pada kasus ini, maka disebut sebagai integral tak tentu dan notasinya ditulis sebagai:

${\displaystyle F=\int f(x)\,dx.}$

integral terhubung dengan diferensial: jika f adalah fungsi kontinu yang terdefinisi pada sebuah interval tertutup [a, b], maka, jika antiturunan F dari f diketahui, maka integral tertentu dari f pada interval tersebut dapat didefinisikan sebagai:

${\displaystyle \int _{a}^{b}\!f(x)\,dx=F(b)-F(a)\,}$

- Aturan dasar integral -

1. The power rule

digunakan untuk membedakan fungsi dari bentuk {\ displaystyle f (x) = x ^ {r}} f (x) = x ^ r, setiap kali {\ displaystyle r} r adalah bilangan real. Karena diferensiasi adalah operasi linier pada ruang fungsi yang dapat dibedakan, polinomial juga dapat dibedakan menggunakan aturan ini.

2. The eksponential rule

adalah fungsi khusus pada bidang kompleks. Ini didefinisikan sebagai satu integral tertentu yang pasti dari rasio antara fungsi eksponensial dan argumennya.

3. The logaritmic rule

Definisi the logaritmic rule adalah dari a diperoleh melalui intergal dengan batas [1,a] untuk fungsi 1/x yang berarti juga luas daerah di bawah kurva 1/x selang 1 sampai a.

4. The integral of sum

menyatakan bahwa integral dari jumlah dua fungsi sama dengan jumlah integral mereka. Ini adalah penggunaan khusus untuk integrasi jumlah, dan merupakan salah satu bagian dari linearitas integrasi.

Seperti halnya banyak properti integral dalam kalkulus, aturan penjumlahan berlaku untuk integral tertentu dan integral tak terbatas. 

5. Integral of multiple

adalah integral dari fungsi lebih dari satu variabel nyata, misalnya, f (x, y) atau f (x, y, z). Integral dari fungsi dua variabel di atas suatu wilayah dalam R2 disebut integral ganda, dan integral dari fungsi tiga variabel di atas wilayah R3 disebut triple integral.

6. The substitusion rule

adalah salah satu metode untuk mencari integral dengan mensubstitusi salah satu variabel dan mengubahnya menjadi bentuk yang lebih sederhana.

7. Integral by parts

integrasi yang merupakan produk dari 2 fungsi. Kami mungkin dapat mengintegrasikan produk-produk tersebut dengan menggunakan Integration by Parts.

Jika u dan v adalah fungsi x, aturan produk untuk diferensiasi yang ditemui sebelumnya.

8. Trigonometri rule

adalah integral dari arc sin x, arc cos x, arc tan x, arc cosec x, arc sec x dan arc cotan x.

MATRIKS

MATRIKS

Matriks adalah susunan bilangan dalam bentuk baris dan kolom, biasanya dilambangkan dalam huruf kapital.

Ilustrasi di baca seperti : a11 dibaca baris ke-1 dan kolom ke-1; a=12 dibaca baris ke-1 dan kolom ke-2; atau amn yang berarti baris ke-m dan kolom ke-n. Banyaknya baris dan kolom dalam matriks disebut dengan ordo. Urutan yang perlu diingat adalah baris kemudian kolom. Matriks dalam ilustrasi di bawah ini memiliki ordo 2x3, karena memiliki dua baris dan tiga kolom.

• Operasi-operasi pada matriks

Dalam operasi pada matriks terdapat beberapa sifat matriks jika matriks A, B dan C berordo sama dan 1 skalar, maka berlaku sifat-sifat berikut :

1. A + B = B + A (sifat komutatif)

2. (A + B) + C = A + (B+C) (sifat asosiatif)

3. K(A+B) = kA + kB (sifat dostributif)

4. A + 0 = 0 + A = A (sifat identitas)

1. Penjumlahan Matriks

Syarat pada penjumlahan matriks ialah harus memiliki ordo yang sama, dan menambahkan pada posisi atau letak yang sama. Contohnya sebagai berikut :

2. Pengurangan Matriks

Syarat pada pengurangan matriks juga sama dengan penjumlahan. Misal matriks C adalah pengurangan matriks A dan B, perlu kita ketahui bahwa matriks pengurangan ialah sama dengan penambahan Matriks A dengan perkalian skalar -1 dengan matriks B.

3. Perkalian matriks dengan skalar

Pada perkalian matriks dengan skalar caranya yaitu mengalikan nilai skalar dengan semua letak matriks. Contohnya sebagai berikut :

4. Perkalian matriks

Syarat pada perkalian matriks ialah jumlah kolom pada matriks pertama sama dengan jumlah baris pada matriks kedua.

5. Transpos Matriks

Matriks transpos ialah matriks yang menukar baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris. Matriks transpos biasa dilambangkan dengan t. 

6. Determinan matriks

 Determinan matriks dapat diartikan sebagai nilai yang mewakili sebuah matriks bujur sangkar. Simbol nilai determinan matriks A biasanya dinyatakan sebagai det(A) atau .

• Jenis - Jenis Matriks :

1. Matriks Baris

Matriks baris adalah matriks yang hanya mempunyai satu baris. Secara umum, matriks baris berordo 1 x n.

2.  Matriks Kolom

Matriks kolom adalah matriks yang hanya mempunyai satu kolom. Secara umum, matriks kolom berordo m x 1.

3. Matriks Persegi

Matriks persegi adalah matriks yang mempunyai banyak baris dan banyak kolom yang sama. Secara umum, matriks persegi berordo n x n. 

4. Matriks Identitas

Matriks identitas adalah matriks diagonal yang semua elemen pada diagonal utamanya. Contoh matriks indentitas :

5. Matriks Diagonal

Matriks diagonal berasal dari matriks persegi. Matriks persegi dikatakan sebagai matriks diagonal jika elemen-elemen selain elemen diagonal utamanya adalah nol.

6. Matriks Segitiga Atas dan Matriks Segitiga Bawah

Matriks segitiga atas dan matriks segitiga bawah dapat berasal dari matriks persegi. Suatu matriks persegi disebut matriks segitiga atas jika semua elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol. Sebaliknya, jika semua elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol, maka matriks persegi itu disebut matriks segitiga bawah. Contoh Matriks Segitiga atas dan Matriks Segitiga Bawah :

7. Matriks Nol

Suatu matriks dikatakan matriks nol jika semua elemen dari matriks tersebut adalah nol. Contoh matriks nol :

8. Matriks Simetri 

 Matriks A disebut matriks simetri jika A’ = A atau setiap elemen pada matriks A yang letaknya simetris terhadap diagonal utama bernilai sama, yaitu aij = aji dengan i tidak sama dengan j.