INTEGRAL

INTEGRAL

Integral adalah sebuah konsep penjumlahan secara berkesinambungan dalam matematika, dan bersama dengan inversnya, diferensiasi, adalah satu dari dua operasi utama dalam kalkulus. Integral dikembangkan menyusul dikembangkannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang integral adalah ${\displaystyle \int \,}$

Bila diberikan suatu fungsi f dari variable real x dengan interval [a, b] dari sebuah garis lurus, maka integral tertentu

${\displaystyle \int _{a}^{b}\!f(x)\,dx\,}$

didefinisikan sebagai area yang dibatasi oleh kurva f, sumbu-x, sumbu-y dan garis vertikal x = a dan x = b, dengan area yang berada di atas sumbu-x bernilai positif dan area di bawah sumbu-x bernilai negatif.

Kata integral juga dapat digunakan untuk merujuk pada anti turunan, sebuah fungsi F yang turunannya adalah fungsi f. Pada kasus ini, maka disebut sebagai integral tak tentu dan notasinya ditulis sebagai:

${\displaystyle F=\int f(x)\,dx.}$

integral terhubung dengan diferensial: jika f adalah fungsi kontinu yang terdefinisi pada sebuah interval tertutup [a, b], maka, jika antiturunan F dari f diketahui, maka integral tertentu dari f pada interval tersebut dapat didefinisikan sebagai:

${\displaystyle \int _{a}^{b}\!f(x)\,dx=F(b)-F(a)\,}$

- Aturan dasar integral -

1. The power rule

digunakan untuk membedakan fungsi dari bentuk {\ displaystyle f (x) = x ^ {r}} f (x) = x ^ r, setiap kali {\ displaystyle r} r adalah bilangan real. Karena diferensiasi adalah operasi linier pada ruang fungsi yang dapat dibedakan, polinomial juga dapat dibedakan menggunakan aturan ini.

2. The eksponential rule

adalah fungsi khusus pada bidang kompleks. Ini didefinisikan sebagai satu integral tertentu yang pasti dari rasio antara fungsi eksponensial dan argumennya.

3. The logaritmic rule

Definisi the logaritmic rule adalah dari a diperoleh melalui intergal dengan batas [1,a] untuk fungsi 1/x yang berarti juga luas daerah di bawah kurva 1/x selang 1 sampai a.

4. The integral of sum

menyatakan bahwa integral dari jumlah dua fungsi sama dengan jumlah integral mereka. Ini adalah penggunaan khusus untuk integrasi jumlah, dan merupakan salah satu bagian dari linearitas integrasi.

Seperti halnya banyak properti integral dalam kalkulus, aturan penjumlahan berlaku untuk integral tertentu dan integral tak terbatas. 

5. Integral of multiple

adalah integral dari fungsi lebih dari satu variabel nyata, misalnya, f (x, y) atau f (x, y, z). Integral dari fungsi dua variabel di atas suatu wilayah dalam R2 disebut integral ganda, dan integral dari fungsi tiga variabel di atas wilayah R3 disebut triple integral.

6. The substitusion rule

adalah salah satu metode untuk mencari integral dengan mensubstitusi salah satu variabel dan mengubahnya menjadi bentuk yang lebih sederhana.

7. Integral by parts

integrasi yang merupakan produk dari 2 fungsi. Kami mungkin dapat mengintegrasikan produk-produk tersebut dengan menggunakan Integration by Parts.

Jika u dan v adalah fungsi x, aturan produk untuk diferensiasi yang ditemui sebelumnya.

8. Trigonometri rule

adalah integral dari arc sin x, arc cos x, arc tan x, arc cosec x, arc sec x dan arc cotan x.

MATRIKS

MATRIKS

Matriks adalah susunan bilangan dalam bentuk baris dan kolom, biasanya dilambangkan dalam huruf kapital.

Ilustrasi di baca seperti : a11 dibaca baris ke-1 dan kolom ke-1; a=12 dibaca baris ke-1 dan kolom ke-2; atau amn yang berarti baris ke-m dan kolom ke-n. Banyaknya baris dan kolom dalam matriks disebut dengan ordo. Urutan yang perlu diingat adalah baris kemudian kolom. Matriks dalam ilustrasi di bawah ini memiliki ordo 2x3, karena memiliki dua baris dan tiga kolom.

• Operasi-operasi pada matriks

Dalam operasi pada matriks terdapat beberapa sifat matriks jika matriks A, B dan C berordo sama dan 1 skalar, maka berlaku sifat-sifat berikut :

1. A + B = B + A (sifat komutatif)

2. (A + B) + C = A + (B+C) (sifat asosiatif)

3. K(A+B) = kA + kB (sifat dostributif)

4. A + 0 = 0 + A = A (sifat identitas)

1. Penjumlahan Matriks

Syarat pada penjumlahan matriks ialah harus memiliki ordo yang sama, dan menambahkan pada posisi atau letak yang sama. Contohnya sebagai berikut :

2. Pengurangan Matriks

Syarat pada pengurangan matriks juga sama dengan penjumlahan. Misal matriks C adalah pengurangan matriks A dan B, perlu kita ketahui bahwa matriks pengurangan ialah sama dengan penambahan Matriks A dengan perkalian skalar -1 dengan matriks B.

3. Perkalian matriks dengan skalar

Pada perkalian matriks dengan skalar caranya yaitu mengalikan nilai skalar dengan semua letak matriks. Contohnya sebagai berikut :

4. Perkalian matriks

Syarat pada perkalian matriks ialah jumlah kolom pada matriks pertama sama dengan jumlah baris pada matriks kedua.

5. Transpos Matriks

Matriks transpos ialah matriks yang menukar baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris. Matriks transpos biasa dilambangkan dengan t. 

6. Determinan matriks

 Determinan matriks dapat diartikan sebagai nilai yang mewakili sebuah matriks bujur sangkar. Simbol nilai determinan matriks A biasanya dinyatakan sebagai det(A) atau .

• Jenis - Jenis Matriks :

1. Matriks Baris

Matriks baris adalah matriks yang hanya mempunyai satu baris. Secara umum, matriks baris berordo 1 x n.

2.  Matriks Kolom

Matriks kolom adalah matriks yang hanya mempunyai satu kolom. Secara umum, matriks kolom berordo m x 1.

3. Matriks Persegi

Matriks persegi adalah matriks yang mempunyai banyak baris dan banyak kolom yang sama. Secara umum, matriks persegi berordo n x n. 

4. Matriks Identitas

Matriks identitas adalah matriks diagonal yang semua elemen pada diagonal utamanya. Contoh matriks indentitas :

5. Matriks Diagonal

Matriks diagonal berasal dari matriks persegi. Matriks persegi dikatakan sebagai matriks diagonal jika elemen-elemen selain elemen diagonal utamanya adalah nol.

6. Matriks Segitiga Atas dan Matriks Segitiga Bawah

Matriks segitiga atas dan matriks segitiga bawah dapat berasal dari matriks persegi. Suatu matriks persegi disebut matriks segitiga atas jika semua elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol. Sebaliknya, jika semua elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol, maka matriks persegi itu disebut matriks segitiga bawah. Contoh Matriks Segitiga atas dan Matriks Segitiga Bawah :

7. Matriks Nol

Suatu matriks dikatakan matriks nol jika semua elemen dari matriks tersebut adalah nol. Contoh matriks nol :

8. Matriks Simetri 

 Matriks A disebut matriks simetri jika A’ = A atau setiap elemen pada matriks A yang letaknya simetris terhadap diagonal utama bernilai sama, yaitu aij = aji dengan i tidak sama dengan j.

TURUNAN 1 VARIABLE

Turunan 1 variable

Turunan adalah pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input, atau secara umum turunan menunjukkan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya. Proses dalam menemukan turunan  disebut diferensiasi.

·         y’   adalah simbol untuk turunan pertama.

·         y’’   adalah simbol untuk turunan kedua.

·         y’’’  adalah simbol untuk turunan ketiga.

·         dy/dx juga termasuk symbol turunan.

1.     Turunan Pertama

Rumus : 

y = Cxⁿ

ket : C & ⁿ = Konstanta Real

contoh :

^·          y = 2x⁴ , maka dy/dx = 2 . 4 x ^4-1= 8x³

^·          y = x³ + 2x² , maka dy/dx = 3x² + 4

2.     Turunan Kedua

Turunan kedua dinotasikan sebagai berikut :

d²y/d²x atau y’’

Turunan kedua merupakan turunan yang diperoleh dengan menurunkan kembali turunan pertama. Perhatikan contoh berikut :

y = x³ + x² + x + 4

dy/dx = 3x² + 2x + 1

d²y/d²x = 6x + 2

3.     Turunan Trigonometri

Berikut rumus turunan fungsi Trigonometri :

a)     f (x) = sin x , maka f ‘ (x) = cos x

b)    f (x) = cos x , maka f ‘ (x) = - sin x

c)     f ‘ (x) = sec²x = 1/cos²x

perhatikan contoh berikut :

            jika y = x² sin 2x , maka dy/dx ?

            jawab :

                        y = x² sin 2x

                        misalkan :

                        u(x) = x² , maka u’(x) = 2x

                        v(x) = sin2x , maka v’(x) = 2 cos 2x

                        y = u(x) . v(x)

                        y ‘ (x) = u’(x)v(x) + u(x) v’(x)

                                    = 2x (sin 2x) + x² (2 cos 2x)

                                    = 2x sin 2x + 2x² cos 2x

TURUNAN IMPLISIT

Turunan implisit yaitu memuat 2 variabel atau lebih, variable – variable tersebut terdiri dari variable bebas dan tidak bebas, biasanya variable tersebut dinyatakan dalam x dan y dimana variable x dan y terletak di dalam satu ruas sehingga tidak dapat dipisahkan.

a.     Bentuk umum fungsi implisit

Secara umum bentuk turunan fungsi implisit adalah f (x,y) = 0, mencari turunan fungsi implisit sama dengan mencari solusi bentuk umumnya dan prinsipnya tidak jauh berbeda dengan mencari turunan fungsi biasa.

Contoh :

x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19

langkah pertama : Turunkan suku-suku x dan konstanta pada kedua sisi persamaan sesuai aturan turunan biasa untuk memulainya. Abaikan suku-suku y untuk sementara. 

x² + y² - 5x + 8y + 2xy²= 19 memiliki dua suku x : x² dan -5x. Jika kita ingin menurunkan persamaan, kita harus mengerjakan ini terlebih dahulu, 

seperti ini:

x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19

(Bawalah turun pangkat 2 dalam x² sebagai koefisien, hapus x dalam -5x, dan ubah 19 menjadi 0)

2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0

Langkah kedua : Turunkan saja suku-suku y dengan cara yang sama seperti Anda menurunkan suku-suku x. Akan tetapi, kali ini, tambahkan (dy/dx) di sebelah masing-masing suku seperti Anda menambahkan koefisien. Misalnya, jika Anda menurunkan y², maka turunannya menjadi 2y (dy/dx). Abaikan suku-suku yang memiliki x dan y untuk sementara. Kita akan melakukan langkah penurunan y selanjutnya seperti berikut:

2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0

(Bawalah turun pangkat 2 dalam y² sebagai koefisien, hapus y dalam 8y, dan letakkan dy/dx di sebelah masing-masing suku).

2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2xy²= 0

Langkah ketiga :mensubstitusikan suku – suku yang memiliki x dan y. Dalam contoh kita, 

2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2xy² = 0 

kita hanya memiliki satu suku yang memiliki x dan y yaitu 2xy². Karena x dan y dikalikan satu sama lain, kita akan menggunakan aturan hasil kali untuk menurunkan seperti berikut:

2xy² = (2x)(y²)

Missal : 2x = u

y² = v 

dalam (u × v)' = u' × v + v × u'

(u × v)' = (2x)' × (y²) + (2x) × (y²)'

(u × v)' = (2) × (y²) + (2x) × (2y(dy/dx ))

(u × v)' = 2y² + 4xy(dy/dx)

Menambahkan ini ke persamaan utama kita, jadi :

2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2y² + 4xy(dy/dx) = 0

            

Langkah keempat : Sendirikan (dy/dx). Sekarang, yang harus di lakukan adalah menyelesaikan persamaan (dy/dx). Yaitu dengan proses distributive perkalian, dapat ditulis sebagai (a + b)(dy/dx). pindahkan semua suku lainnya di sisi lain dari tanda kurung, kemudian bagilah dengan suku-suku dalam tanda kurung di sebelah (dy/dx).

2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2y² + 4xy(dy/dx) = 0 

seperti berikut:

2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2y² + 4xy(dy/dx) = 0

(2y + 8 + 4xy)( dy/dx) + 2x - 5 + 2y² = 0

(2y + 8 + 4xy)( dy/dx) = -2y² - 2x + 5

(dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2y + 8 + 4xy)

Jadi, hasilnya berikut :

(dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2(2xy + y + 4)

ATURAN RANTAI

Aturan Rantai merupakan aturan yang digunakan untuk menyelesaikan turunan fungsi komposisi. Aturan ini membantu menyelesaikan turunan fungsi yang terdiri dari komposisi 2 fungsi atau lebih. Cara menyelesaikannya adalah memecah komposisi fungsi tersebut menjadi beberapa. Komposisi fungsi yang biasanya diturunkan dengan aturan rantai adalah bentuk pangkat dari fungsi aljabar yang terdiri dari beberapa suku.

Contoh 1: 

f(x) = (3x – 2)²

untuk menentukan turunannya, maka (3x – 2)²  diuraikan.

            f(x) = 9x² – 12x + 4,       sehingga

            f ’(x) = 18x – 12

contoh 2:

            f(x) = (3x – 2)⁴

            Jadikan fungsi diatas menjadi sebuah komposisi.

            Misal u = 3x – 2 , maka f(x) = u⁴

Lalu selesaikan turunan fterhadap u, kemudian turunkan uterhadap x, seperti berikut :

            Menggunakan rumus :

            dy/dx  = dy/du . du/dx atau df/dx = df/dx . du/dx

y = f (x) = (3x – 2)⁴

Misal u = 3x – 2 , maka y = u⁴

dy/dx  = dy/du . du/dx

            = d(u⁴)/du . d(3x – 2)/dx

            = 7u³ x 3

            = 21u³

Jadi, dy/dx = 21 (3x – 2)³

INTEGRAL

Integral merupakan kebalikan dari turunan. Jika F(x) adalah fungs umum yang bersifat F(x) = f(x), maka F(x) merupakan anti turunan atau integral dari f(x). Pengintegralan fungsi f(x) terhadap x dinotasikan sebagai berikut :

                        ∫ f(x) dx = F(x) + C

                        Keterangan :

                        ∫ = notasi integral

                        f(x) = fungsi integral

                        F(x) = fungsi integral umum yang bersifat F(x) = f(x)

                        C = Konstanta

1.     INTEGRAL TAK TENTU

Rumus Dasar :

a)     ∫ a dx = ax + c

b)    ∫ xⁿ dx = 1/n+1 xⁿ⁺¹ + C dengan catatan n ≠ -1

c)     Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri

§  ∫ sin x dx = - cos x + C

§  ∫ cos x dx = - sin x + C

Contoh :

o     ∫ 2x² + 4x + 8 dx           =  2/2+1 x²⁺¹ + 4/1+1 x¹⁺¹ + 8x + c

            =  2/3 x³+ 2x² + 8x + c

o    ∫ (2 sin x + cos 4x) dx    = -2 cos x + ¼ sin 4x + c

2.     INTEGRAL TENTU

Integral Tentu adalah integral dengan batas-batas yang sudah di tentukan, dengan dinotasikan sebagai berikut : 

                        ∫^b_a  f(x) dx = [F(x)]^b_a = F(b) – F(a)

                        Keterangan :

                        A dan b adalah batas bawah integral dan batas atas integral.

            Contoh :

            Tentukan nilai dari ∫²₁ (4x³ + 2x³) dx?

            Penyelesaian :

            

                        ∫²₁(4x³ + 2x³)dx              = [4/4x⁴ + 2/4x⁴]²₁

                                                            =( (2)⁴ + ½(2)⁴ ) – ( (1)⁴+ ½(1)⁴ )

                                                            = (16 + 8) – (1+ ½ ) 

                                                            = 24 – 1 ½

                                                            = 22 ½ 

A.    INTEGRAL PARSIAL

Integral Parsial adalah suatu cara untuk menaikan pangkat suatu bilangan dua perkalian fungsi yang berbeda sehingga fungsi bilangan tersebut dapat menaikan pangkatnya (diintegralkan). Integral parsial dihubungkan dengan fungsi bilangan (u) dan (dv) yang fungsi tersebut akan dikali dan diintegralkan sesuai dengan aturan rumus integral parsial.

Integral Parsial memiliki cara khusus dimana dua bilangan fungsi dari (u) dan (dv) akan dihitung untuk mencari penurunan pangkat dari (u) atau biasa disebut (du) dan mencari kenaikan pangkat (dv) atau biasa disebut (v).

RUMUS UMUM :

∫ u.dv = u.v - ∫ v.du 

Keterangan :

            Dengan (u) sebagai F(x) dan (du) sebagai F(x)'. Dan untuk fungsi (v) dan (dv) dalam soal kita memilih fungsi (dv) dengan syarat (dv) diintegralkansehingga membentuk (v). Setalah menemukan turunan (u) menjadi (du)dan integral (dv) menjadi (v). Nilai akan siap dimasukan ke dalam rumus             integral parsial.

Contoh : 

                        ∫ x² (x+3)² = ∫ x²(x² + 6x + 9)

                                    Untuk (u) kita mengambil fungsi x²dan (dv) adalah (x² + 6x + 9) sehingga

                                                (u) = x²  diintegralkan, hasilnya menjadi : 

                                                (du) = 2x

                                                (dv) = (x² + 6x + 9) diintegralkan, hasilnya menjadi : 

                                                (v) = (1/3x³ + 3x² + 9x)

• KONSTANTA

fungsi konstanta, kita buktikan dengan menggunakan Definisi Turunan seperti pada tulisan sebelumnya. Dan untuk pembuktian sifat lainnya juga menggunakan definisi tersebut.

Sifat 1.

Jika f(x) = k dengan k suatu konstanta maka untuk sebarang x, f'(x) = 0 yakni Dx(k) = 0

     

      

Contoh 2.

Carilah turunan dari f(x) = 5

Untuk mencari turunan dari fungsi konstanta tersebut kita menggunakan definisi turunan menggunakan limit yang telah saya tulis pada postingan sebelumnya. Atau sama caaranya seperti pembuktian diatas.

     

     

soal dan jawaban turunan penjumlahan dan pengurangan

1. Nilai dari 

cos1∘+cos3∘$\cos 1^{\circ }+\cos 3^{\circ }$+…+cos181∘=…

jawaban 

Karena sin(x+1)∘−sin(x−1)∘$\sin {\left(x+1\right)}^{\circ }-\sin {\left(x-1\right)}^{\circ }$=2cosx∘sin1∘,$=2\cos x^{\circ }\sin 1^{\circ },$ maka cosx∘=sin(x+1)∘−sin(x−1)∘2sin1∘$\cos x^{\circ }=\frac{\sin {\left(x+1\right)}^{\circ }-\sin {\left(x-1\right)}^{\circ }}{2\sin 1^{\circ }}$

Jadi

cos1∘+cos3+…+cos181∘$\cos 1^{\circ }+\cos 3+\dots +\cos {181}^{\circ }$=(sin2∘−sin0∘)+(sin4∘−sin2∘)+…+(sin182∘−sin180∘)2sin1∘$=\frac{\left(\sin 2^{\circ }-\sin 0^{\circ }\right)+\left(\sin 4^{\circ }-\sin 2^{\circ }\right)+\dots +\left(\sin {182}^{\circ }-\sin {180}^{\circ }\right)}{2\sin 1^{\circ }}$

=sin182∘−sin0∘2sin1∘$=\frac{\sin {182}^{\circ }-\sin 0^{\circ }}{2\sin 1^{\circ }}$=−sin22∘2sin1∘$=\frac{-\sin {22}^{\circ }}{2\sin 1^{\circ }}$

=−cos1∘

sin

1. sin15∘+sin105∘=…15∘+sin105∘=…

jaw

Trigonometri
yaitu fungsi dari sebuah sudut yang digunakan untuk menghubungkan antara sudut-sudut dalam suatu segitiga dengan sisi-sisi segitiga tersebut.

turunan fungsi trigonometri dapat dicari dengan menggunakan konsep limit fungsi sebagai berikut :
Contoh soal 1Tentukan turunan dari f(x) = sin ax.
PenyelesaianUntuk mengerjakan soal ini anda harus mengingat konsep dasar dari trigonometri yakni:sin A – sin B = 2 cos ½ (A + B)sin ½ (A – B)dan juga harus ingat konsep dasar dari limit tri gonometri yakni:
 
maka